Informatica e diritto, XV Annata, Vol. XV, 1989, n. 1, pp. 15-36

Georg Henrik von Wright

Logiche della verità

Logics of Truth

Nell'articolo sono presentati alcuni calcoli logici, il cui lessico è quello della logica proposizionale tradizionale, arricchito da un unico simbolo nuovo, quello dell'operatore di verità T, che dovrebbe leggersi "è vero che", svolgendo nel calcolo un ruolo analogo a quello degli operatori utilizzati in una logica proposizionale modale. L'impiego dell'operatore T consente di distinguere tra due modi di negare una proposizione nel linguaggio formale, cioè tra ~T ("non è vero che") e T ~ ("è vero che non"); nel primo caso si parla di "non verità", nel secondo di "verità della negazione" o "falsità".
Per scopi simili a quelli perseguiti nell'articolo, in luogo dell'operatore di verità possono essere utilizzati due simboli diversi per la negazione: uno per la negazione "classica" (~) e l'altro per la negazione "non-classica" (⌉). In questo modo per l'operatore di verità T si dovrebbe scrivere ⌉~, per ~T ("non verità") si avrebbe ~⌉ e a T~ ("verità della negazione") corrisponderebbe il segno ⌉. Definire la "non verità" un concetto più debole della "verità della negazione" ("falsità"), o viceversa, è questione che dipende dal particolare sistema di logica della verità cui si fa volta a volta riferimento. Nella logica classica "non verità" e "falsità" sono concetti ugualmente forti (identici).
Un numero rilevante di sistemi rientranti nella cosiddetta logica non-classica è caratterizzato proprio dal fatto d'utilizzare un concetto di negazione diverso da quello classico. Una logica che utilizzi soltanto una negazione non-classica può sembrare una logica incompleta, "monca". Secondo l'A. è possibile, invece, ottenere una comprensione più profonda di questi sistemi non-classici e della loro relazione con la logica classica cercando d'incorporare le loro caratteristiche peculiari in uno schema logico più ampio, in cui l'unica nozione di  negazione possa "comportarsi" sia nel modo classico che in quello non-classico. Le  "logiche della verità" esaminate nell'articolo soddisfano appunto questo requisito. Di tali logiche vengono definiti gli elementi del vocabolario (variabili enunciative, connettivi, operatore di verità T, parentesi tonde), i tipi di formule (formule T, formule della logica proposizionale e formule miste), i concetti di valore di verità, gap ("spazio vuoto del valore di verità") e overlap ("sovrapposizione del valore di verità"). Se si ammette che esistano quattro valori di verità (vero, falso, gap e overlap), ci si trova di fronte a sedici modi diversi in cui è possibile "permettere" o "proibire" uno o più dei quattro valori. A queste sedici alternative corrispondono sedici diverse "logiche della verità", ma tra esse solo quattro rivestono un particolare interesse di studio: la logica che ammette soltanto il vero e il falso (logica classica: CL), la logica che ammette gaps (TL), la logica che ammette overlaps (T'L) e la logica che ammette sia gaps che overlaps (T"L).
Tali sistemi possiedono un "nucleo" comune che è, in se stesso, una "logica di verità". Di tale nucleo vengono indicati gli assiomi, le regole di trasformazione o d'inferenza e alcuni teoremi.
Del sistema di logica di verità TL si illustrano i teoremi e si chiarisce la somiglianza con la "logica intuizionista". La logica T`L - che viene considerata "logica paraconsistente" - è ottenuta dalla logica TL facendo notare che il concetto di verità che figura in T`L è uguale alla negazione di falso in TL. Nel sistema T``L non sono  teoremi né legge (forte) del Terzo Escluso né legge (forte) di Contraddizione, né vale la legge (forte) della Doppia Negazione. Nella logica classica (CL), infine, qualsiasi proposizione è o (univocamente) vera o (univocamente) falsa. Dai quattro sistemi TL, T'L, T"L e CL vengono poi ottenuti i sistemi duali corrispondenti TLM, T'LM, T"LM e CLM. Si rileva come lo studio della logica della verità apra interessanti prospettive per l'analisi delle antinomie e, sulla base dei diversi valori di verità indicati ("vero e falso", "vero ma non falso", "falso ma non vero", "né vero né falso"), vengono costruite le tavole di verità relative alla negazione, alla congiunzione e all'operatore di verità.
Infine sono illustrate le modalità per la costruzione delle logiche di verità di secondo e terzo ordine ed è chairito il significato (e lo scopo) dei calcoli presentati sotto la denominazione comune di "logiche della verità". Non ha senso chiedersi quale sia la vera "logica della verità"; occorre invece indagare secondo quale logica proceda effettivamente il ragionamento in un dato contesto.
Un'ampia Appendice fornisce schemi, chiarimenti ed esemplificazioni con riferimento ai vari concetti esposti.

In the article several logical calculations are presented, whose lexicon is that of classical propositional logic, enriched by a single new symbol, that of the truth operator (T), which should be read «it is true that», performing a role in the calculus analogous to that of the operators used in a modal propositional logic. The use of the T operator permits us to distinguish between two ways of refuting a proposition in formal language, that is, between T («it is not true that») and Tr («it is true that not»); in the former case we talk about «non-truth», in the latter about «truth of the negation» or falsity». For purposes similar to those aimed at in the article, two different symbols for the negation can be utilized in place of the truth operator: one for the «classical» negation (~) and the other for the «non-classical» negation (¬) In this way, we should write ¬ for the truth operator T, for ~ T («non truth») we would have ~ ¬ ~ and the symbol ¬ would correspond to T ~ («truth of the negation»). Defining «non truth» a weaker concept than the «truth of the negation» («falsity»), or vice versa, is a matter which depends on the particular system of the logic of truth referred to on each occasion. In classical logic «non truth» and «falsity» are equally strong (identical) concepts. A large number of systems falling within so-called non-classical logic are characterized by the very fact of utilizing a concept of negation different from the classical one. A logic which utilizes only a non-classical negation may seem an incomplete «mutilated» logic. According to the Author, instead, a more profound understanding of these non-classical systems and of their relationships with classical logic can be gained by attempting to incorporate their special features in a wider logical scheme, in which the one concept of negation can «act» in both the classical and in the non-classical fashion. The «logics of truth» examined in the article satisfy precisely this requisite. The terms of the vocabulary of these logical systems are defined (enunciative variables, connectives, truth operator T, round brackets) and the types of formulae (T formulae, propositional logic formulae and mixed formulae), and concepts of the truth value, gap («empty space of the truth value») and overlap («overlapping of the truth value»). If we agree that four truth values exist (true, false, gap, overlap), we are faced with sixteen different ways in which it is possible «to permit» or «to forbid» one or more of the four values. There are sixteen different «logics of truth» corresponding to these sixteen alternatives, but only four out of these are of special interest to the research: the logic which allows far only the true and the false (classical logic: CL), the logic which allows for gaps (TL), the logic which allows for overlaps (T'L) and the logic which allows for both gaps and overlaps (T"L). These systems possess a common «nucleus» which is, in itself, a «logic of truth». The axioms, transformation and inference rules and several theorems are indicated by this nucleus. The theorems of the TL system of logic of truth are illustrated and its similarity with «intuitionist logic» is clarified. T'L logic - which is considered «paraconsistent logic» - is taken from TL logic by noting that the concept of truth which appears in T' L is the same as the negation of false in TL. Neither (strong) Law of the Excluded Third nor (strong) Law of Contradiction nor (strong) Law of the Double Negation are theorems in the T" L system. Finally, in classical logic (CL), any proposition is either (univocally) true or (univocally) false. The corresponding dual systems TLM, T'LM, T"LM and CLM are then obtained from the four systems TL, T' L, T" L and CL. It becomes dear how the study of the logic of truth opens interesting perspectives for the analysis of antinomies and, on the basis of the different specified truth values («true and false», «true but not false», «false but not true», «neither true nor false»), the truth tables relating to negation, conjunction and the truth operator are constructed. Finally, the ways in which logics of truth of the second and third order are constituted are illustrated and the meaning (and scope) of the calculations presented under the common name of logics of truth» is clarified: it made no sense to ask which is the true «logic of truth»; it is necessary, instead, to examine what logic effectively follows the reasoning in a given context. Tables, explanations and examples referring to the different concepts set out in the article are presented in a detailed Appendix.

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